• 1. 两大类分布的总体概述

• 2. 什么是期望？

• 3. 离散概率分布

• 3.1 伯努利分布

• 3.2二项分布，多项式分布

• 3.3几何分布和负二项分布

• 3.4 超几何分布

• 3.5 泊松分布

• 4. 连续概率分布

• 4.1 均匀分布

• 4.2正态分布

• 4.3 Beta分布

• 4.4 卡方分布

• 5. 补充

1. 两大类分布的总体概述

概率分布是指用于表述随机变量取值的概率规律，总体包括离散概率分布和连续概率分布。

离散概率分布包括：

1. 伯努利分布，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”；
2. 二项分布，多项式分布（二项式分布的延伸）；
3. 几何分布和负二项分布
4. 超几何分布
5. 泊松分布

连续概率分布包括：

1. 均匀分布
2. 正态分布（常态分布，高斯分布）
3. Beta-分布
4. 卡方分布

2. 什么是期望？

在了解这些分布之前，需要先理解一个名词——期望。

期望和均值类似，就连计算方法也类似，但是均值是对数据本身进行描述，但期望描述的是概率分布。

所以，变量X的期望通常写作E(X)，E(X)的计算公式为： 

3. 离散概率分布

3.1 伯努利分布

是假设一个事件只有发生或者不发生两种可能，这两种可能是相互独立却对立，并且这两种可能是固定不变的。那么，如果假设它发生的概率是p，那么它不发生的概率就是1-p。这就是伯努利分布。

伯努利实验就是做一次服从伯努利概率分布的事件，它发生的可能性是p，不发生的可能性是q(1-p)。

举例：抛一次硬币，正反面各自的概率。

公式:

其中，x代表随机变量可能的结果，即正反面或者实验的阳性阴性结果。

期望:

方差：

3.2二项分布，多项式分布

3.2.1二项分布

二项分布是多次伯努利分布实验的概率分布。

其条件为：

1. 独立试验；
2. 每次试验都存在成功和失败的可能，每一次试验的成功概率相同；
3. 试验次数有限（注意这个条件）

举例: 为了区分概率，不再以硬币举例，这次以答题正确概率为例，随机答题正确性为1/4，即答对可能性为0.25，计算3道题目答对1题的概率为：3 x 0.25^1^ x 0.75^2^

公式为：

, 其中 (也就是组合的公式)

p是每一次试验的成功概率，n是试验次数，又写作：，

根据n与p的不同数值，二项分布的概率分布形状会发生变化，p越接近0.5，图形越对称，p<0.5，图形右偏，p>0.5，图形左偏。图形可见：二项分布概率直方图

二项分布单次试验的期望为 , 方差为

重复n次试验的期望为 , 方差为

3.2.2多项式分布

多项分布是在二项分布的基础上进一步的拓展。

也就是由计算只有两种结果变成计算两种以上结果的概率分布，

公式，

另一种形式(emmm真优雅)：

3.3几何分布和负二项分布

几何分布和负二项分布与二项分布恰恰相反，求的是在结果发生概率和发生次数已知的情况下，达成这一条件所需的事件总数的概率。

3.3.1几何分布

几何分布和二项分布极为相像，继续以随机答题为例，假定我们有一套题，在答对第一道题前要答多少题？这里的求解概率分布就是一种几何分布。

其条件为：

1. 独立试验；
2. 每次试验都存在成功和失败的可能，每一次试验的成功概率相同；
3. 为了取得第一次成功前需要进行多少次试验？

每道题目答对概率都为0.25（p），答错概率都为0.75（q），则当第4题才答对第一道题就为：0.25 x 0.75^3^

则，公式为：

其中，p为成功概率，q=1-p 为失败概率，为了在第r次试验时取得成功，首先要失败（r-1）次。

期望为 ,  公式推导见几何分布的期望公式的推导

方差为

3.3.2负二项分布

与几何分布相比较，负二项分布多出了一个结果发生次数的参数。

继续以答题为例，答对3道题需要做题多少？

公式：

其中，

p为答对概率，k为所要成功（答对）次数，因为第r个失败是最后发生的，所以需要k+r-1次重复实验中有k次成功的。

期望为

3.4 超几何分布

从a个白球和b个黑球中抽取n个球，那么以X表示抽取出的白球的数目，这个求解概率则为超几何分布

其条件为：

不放回抽样

公式为：

3.5 泊松分布

泊松分布的本质还是二项分布，泊松分布只是用来简化二项分布计算的。

一个简单例子，每天下雨概率是12%，上个月下了5次雨，下个月下雨8次概率是多大？这个求解概率情况即为泊松分布。

泊松分布应用条件：

1. 单独事情在给定区间（时间或者空间）内随机、独立发生；
2. 已知该区间平均发生次数（发生率），且为有限数值（通常以λ表示）。

若X符合泊松分布，且每个区间内平均发生λ次，则为

X~ P~o~(λ)

发生r次事件的概率公式为：

其中，r为给定区间发生目的事件次数，e为数学常数2.718。

举例和公式推导，网上有个例子解释得很好，见用一个”栗子“讲清楚泊松分布

因为X~ P~o~(λ)，则E(X)为给定区间内能够期望的事件发生数目，也就是求解区间内发生的平均发生次数，则期望，即E(X)等于λ，方差也为λ（泊松分布的参数本身就是期望和方差）。

泊松分布的概率形状为：λ小，则分布向右偏斜，随着λ变大，分布逐渐变得对称（为什么会这样？参考见如何深刻理解二项式分布到泊松分布

另外，泊松分布在特定条件下可以用来近似代替二项分布。

已知，二项分布公式为： ，

当n过大时，计算变得繁琐，而又知道重复n次试验的期望为 , 方差为

所以当λ≈np，λ≈npq ，即np≈npq时候，也就是q近似为1且n足够大时，我们可以用泊松分布替代二项分布，则条件为

1. n次数足够大，默认>50;
2. p足够小，默认<0.1;

4. 连续概率分布

4.1 均匀分布

相等区间（时间，空间，长度等等）分布概率相等，较为简单不予过多描述

均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b） 密度函数公式为：

期望,

方差为

4.2正态分布

若随机连续变量X符合期望为μ、标准差为σ的正态分布，则通常写作X~N(μ， σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

其公式为

这个公式第一眼有点繁琐，但其实当进行拆分后并不复杂，推导之前先了解一个公式标准分计算，

其中，μ表示均值，σ为标准差，Z值为某个值x偏离均数μ的标准差倍数。

公式中前半部分 只是一个系数，为固定值，而后半部分 可以简化为，当Z为0时，最大，也最大，而当x=μ也就是均值时，整个密度函数达到最大值，而当x越偏离μ时，密度函数越小，当无限远的时候，就趋近于0。现在看前半部分， 由于π固定，值的变化由σ标准差决定，sigma越大，值越小，整个分布越会呈低矮形状。

期望与方差计算为:

4.3 Beta分布

以下参考自，链接

一个袋子里面有很多球，我们不知道球的个数只知道球的颜色（红，白），我们现在从中取出一个球（二次实验），根据先验经验我们猜测红白概率为（0.5，0.5），服从两点分布。那么我们开始有放回地从中抽取100次（多次二项试验），得到红球为70次，黄球为30次，这时候我们又重新猜测红白概率（0.7，0.3）。那么如果我们再将上面试验做150次，即重复150次的多次二次实验，最后得到红白概率为{0.7,0.3}这样概率为多少？这就是Beta分布。

公式为

$$f(x \mid a, b)=\frac{1}{B(a, b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}, 0<x<1(a, b="" data-tool="mdnice编辑器">0) $$

期望与方差计算：

4.4 卡方分布

若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其卡方分布规律称为x^2,分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个x2正态分布一样，自由度不同就是另一个分布。记为 Q~x^2(k). 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，X^2分布近似为正态分布。对于任意正整数k， 自由度为 k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。

其公式为：

期望与方差计算为：

5. 补充

二项分布和几何分布的区别是什么？各自应该在什么时候用？

二项分布和几何分布的应用条件很类似，两者的前两个条件（①独立试验；②每一次试验的成功概率相同），差别在于实际上要求的结果。如果试验次数固定，求成功一定次数的概率，则需要使用二项分布；使用二项分布还可以求出在n次试验中能够期望得到的成功次数。如果要求第一次成功之前需要试验多少次，则需要使用几何分布。

1. 首次成功时的实验 n 次的概率 -- 几何分布
2. N 次实验中的成功 S 次的概率 -- 二项分布

参考链接：

伯努利分布、二项分布以及多项分布

https://zhuanlan.zhihu.com/p/50462601

https://blog.csdn.net/qq_37960402/article/details/88953500

https://www.cnblogs.com/Renyi-Fan/p/13909553.html

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24711669

https://blog.csdn.net/zlbflying/article/details/47777943

https://zhidao.baidu.com/question/431881117.html

书籍：统计学的世界

书籍：深入浅出统计学